2025-12-27 수정
옛날에 건축이나 농지 면적 계산을 할 때 밧줄이나 실을 이용해서 측정을 했다. 밧줄로 원과 직선을 그릴 수 있었다. 자와 컴퍼스는 필요 없다. 이런 작은 것으론 땅 위에 큰 원과 긴 직선을 못 그린다. 여하튼 그 과정에서 기하학이 탄생하고 유클리드가 그런 방법들을 모아 깔끔하게 증명하여 정리했다. 고대 이름 없는 천재들이 발견한 것들을 모두 모아 놓으면 그게 학문이다. 그런 이유로 증명이 없었지만 정답인 것을 이미 알고 있는 방법들도 있었다. 원리는 모르겠으나 실험적으로 증명된 방법들 말이다.
가장 간단한 동양의 피타고라스 정리 증명
※ 페르마의 정리 : 직각 삼각형 3변에 대해 aⁿ + bⁿ = cⁿ, n > 2, abc ≠ 0 조건을 만족하는 (a, b, c) 세 쌍의 수는 없다. 당연하겠지. 직각 삼각형의 (a, b, c) 세 쌍의 수는 당연히 a² + b² = c² 조건을 만족 시키니까 좌우에 같은 숫자 x만 곱해야 등식이 성립하지. 3승 이상에 대해 조건을 만족하려면 x = a = b= c 가 되어야 하는데, 이런 x는 0 외엔 없지. 또한 a = b = c의 경우는 정삼각형이라 피타고라스 정리를 만족 시킬 수 없지.
아래는 기초적인 작도 방법이다. 자가 없어도 정확하게 길이와 각도를 측정할 수 있는 방법이다. 자와 각도계를 만들 수도 있다. 임의의 선은 N등분 하는 게 가능하다. 임의의 각도는 3등분 하는 게 불가능하다. 특정 각도(45도, 90도, 180도, 360도)만 3등분 할 수 있다. 이런 이유로 1도 단위 360도 각도계는 만들기 힘들다. 이 글 마지막에 3도 단위까지는 가능함을 보였다.
이건 아주 쉬운 방법이지만 대형 건축물 길이 다룰 때는 안 맞는 방법이다.
이것도 아주 쉬운 방법인데 대형 건축물 길이 다룰 때도 쓸 수 있다.
이건 명확하게 각을 3등분 할 수 있고 매우 실용적인데, 직각 종이가 없으면 안 된다.
그런데 90도 이상에선 어떻게 접지? 번거롭게 나눠서 3등분 해서 다시 합해야 한다.
이건 쉬운 방법처럼 보이지만 1개 길이와 3개 점을 일치 시키는 직선을 그리기는 실제로 힘들다.
이것도 90도 이상에선 안 되니까 나누어서 3등분 하고 다시 합해야 한다.
실제로는 물리적 크기가 있어서 작은 각을 3등분 하기는 힘들고 180도 이상도 불가능함.
0도나 180도에 가까워지면 실제론 써먹기 힘들다는 것. 90도 주변에선 쓸만함.
나선 곡선은 기계로는 그려도 손으로는 못 그린다. 이건 360도 이상에서도 통한다.
만약 임의의 각도를 3등분 하고 싶다면, 위의 원리를 적용할 수도 있다. 이건 수학적으로 엄밀하지 않지만, 실용적으로 사용할 수 있는 방법이다. 수학적 증명은 못 해도 실험적 증명이 되면 실전에 쓸 수 있다. 기타 나선형 곡선을 그리면 회전각과 반경이 비례하기 때문에 교차점을 찾아서 선을 3등분 하는 걸로 각을 3등분 할 수 있으나, 문제는 정확한 나선형은 그럼 어떻게 그릴 수 있느냐는 문제가 있다. 정확한 곡선을 그리는 게 더 힘들다. 고로 3등분 곡선들은 그런 도구를 만들기가 더 힘들다.
먼저 직각을 그릴 수 있어야 했다. 사각형이 공간 활용 면에서 좋기 때문이다. 석기 시대에는 원을 그리고 집을 지었는데 나중에 사각형 집을 짓는 똑똑한 놈들이 나타나서 밀어낸다. 동서남북을 정확하게 그리기에도 좋으며 기준 축을 삼기에도 좋다.
직각 그리는 방법을 잘 보니 그걸로 선도 2등분할 수 있겠더라. 이렇게 하여서 길이를 정확히 측정할 수 있는 자를 만들 수 있겠다. 2진수이긴 하지만 일단 정확하게 측정을 할 수 있는 자를 만들 수 있으니 좋다. 뭐든 2등분은 쉬운 거 같다. 3등분이 어렵다. 소수(素數)로 나누기는 어렵다. 수에서 원소(元素) 같은 숫자들이다. 그럼 3등분 자는 어떻게 만들지? 반대로 하는 거지. 나누는 게 아니라 기본이 되는 눈금 1의 길이를 정한 후에 3배 단위로 눈금을 정하는 것이다.
각도 2등분 할 수 있게 되어 각도기도 만들 수 있게 되었다. 2진법이긴 하지만 각도를 정확하게 측정할 수 있게 되었다. 수학 삼각함수에서 라디안이 바로 2진법이다. 뭐든 반으로 나누는 것은 쉬운 거 같다. 어떤 꼴통이 각을 3등분할 수 있다고 우기던데 그 친구 주장은 1/2 나누기를 무한 반복해서 1/3에 접근할 수 있다는 것이다. 1/3에 도달할 수 있는지 죽을 때까지 해 봐라.
같은 원리로 정삼각형도 쉽게 그릴 수 있더라. 이렇게 하여 60도 각도를 그릴 수 있었고, 그 절반인 30도, 그 절반인 15도가 가능해서 각도기에 눈금을 그릴 수 있었다. 90도에 대해서는 3등분이 가능하다. 45도에 대해서도 3등분이 가능하다. 이리하여 360도를 24등분 할 수 있게 되어 해시계에 하루 시간을 24시간으로 그릴 수 있게 되었고 계절도 24절기로 나누게 된다. 그리고 6각, 12각, 24각 등 2배각을 정확히 그릴 수 있어 원주율도 반복 계산으로 구할 수 있게 되었다.
위의 계산은 원주율 3.141592까지 확정하는데 필요한 반복 회수
3.141까지 확정하는데 6회 반복만 필요함
문제는 (계산기 없이) 제곱근 계산을 해야 하는 피곤함이 있음
제곱근은 아래 원의 면적 계산하는 것처럼 나머지를 다시 계속 10등분 하는 방법 사용
2의 제곱근을 구할 때 2*10² = 200으로 앞자리를 구한다.
나머지 4개에 대해 2*100² = 20000으로 확장해서 뒷자리를 구한다.
즉 가로 세로 140의 정사각형에 나머지 4개가 400개가 되는 것이다.
이렇게 하면 3자리 숫자(1.41xxx)를 구할 수 있는데 이 정도면 정확한 것이다.
이집트에서 사용한 면적으로 원주율을 계산할 수도 있다.
여기서 면적 계산 방법은 삼각형으로 나눠 면적을 반복 계산하는 게 있고,
좀 더 단순 무식하게 원을 가로 세로 격자로 나눈 후에
4각형(1단위 면적)과 3각형(1/2 단위 면적)의 숫자를 세는 방법이 있다.
매우 간단하면서도 정확도가 생각보다 높다는 것.
단순하게 4칙 연산으로 원주율을 구할 수 없을까?
천재 뉴튼이 발견한 다항식으로 계산하는 방법이다.
매우 많은 계산을 해야 하지만 단순한 가감승제로 계산이 끝난다는 장점이 있음
제곱근 계산할 필요도 없고, 면적 계산하기 위해 격자의 사각형 수를 셀 필요도 없음
직각을 2등분하여 대각선을 그릴 수 있어 쉽게 정사각형도 그릴 수 있었다. 이제 원형 집에서 좀 더 공간 활용이 높은 사각형 집에 살 수 있겠다. 특히 정사각형은 면적 계산할 때 매우 편리했다. 작은 정사각형이 몇 개 들어가는지 계산하면 되기 때문이다. 복잡한 모양의 농지(기형적 농지)를 작은 사각형과 삼각형으로 나눌 수 있다면 면적 계산이 가능하다. 기형(畸形)이란 단어의 의미가 사각형 면적을 제한 뙈기밭의 형상이란 뜻이다.
반으로 잘라도 같은 종횡비를 유지하는 것이 복사 용지다. 이건 1과 대각인 √2의 비율이다. 정확히 숫자로 표현하기 무리(無理)하여 무리수(無理數)라 한다. 허나 이 비율의 책상을 2개 붙이면 면적이 2배인 같은 비율의 책상이 된다. 또한 인간의 시야 종횡비인 1.5와 근접한 비율이다. 즉 자연스러운 시야각과 비슷하면서 수학적 의미가 있는 비율이다. 이것도 황금비라 부른다.
인공 지능이 검색 시간을 줄여 주네 (편하지만 많은 사람 직업 잃겠다 ㅋㅋㅋ)
전지를 계속 1/2로 자르면 A나 B 뒤에 붙은 숫자가 커진다
복사지 비율 = √2 = 1.4142135623730950488016887242097
A3 : 297 × 420mm = A4의 2배
A4 : 210 × 297mm = A3의 1/2
B4 : 250 × 353mm = B5의 2배
B5 : 176 × 250mm = B4의 1/2
B4 ÷ A4 세로 = 1.1904761904761904761904761904762
B4 ÷ A4 가로 = 1.1885521885521885521885521885522
B4 ÷ A4 평균 = 1.1895141895141895141895141895142 = 119%
A4 ÷ B4 평균 = 0.84067933683784876668014557217953 = 84%
보통 들고 다니는 책가방 크기는 애매모호한 B4 크기이다.
B4 용지는 넣을 수 없고, A4 용지를 넣으면 공간이 너무 남는다.
책가방은 책과 비슷한 크기여야 하는 거 아닌가?
사람들이 가장 아름답게 보인다고 주장하는 황금비이다. 특히 정오각형 별이 황금비 덩어리다. 다시 말 해서 황금비를 이용해서 정오각형 별을 그릴 수 있다는 말이다. 정오각형은 실용성은 별로 없다. 신비한 상징으로 많이 사용되어 군대, 공산국가 상징에 많이 보인다. 피타고라스 학파의 상징이었다고 한다. 역시 인간의 시야 종횡비인 1.5와 근접한 비율이다. 즉 자연스러운 시야각과 비슷하면서 정사각형을 빼면 남는 부분이 역시 황금비라는 수학적 의미가 있는 비율이다.
피보나치 수열 = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... (앞의 2개 값을 더한 게 다음 값)
피보나치 수열 = 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... (귀찮아서 처음 0, 1은 생략한다)
황금비 = 피보나치 수열에서 무한 반복한 극한 값 ÷ 바로 앞의 값
황금비 = (√5 + 1)/2 = 1.6180339887498948482045868343656
정5각형과 별 모양에 숨어 있는 황금비를 알아야 정5각형을 그릴 수 있다.
정오각형을 그리려면 원의 반지름과 한 변의 길이의 관계를 알아야 한다. 360도/5=72도 이등변 삼각형의 변들의 길이 비율을 알아야 한다는 말이다. 수학이 발달하지 않았을 시절 이걸 발견할 수 있는 방법은 직접 길이를 측정해서 비교하는 방법이다. 원을 그려 바퀴를 만들어 둘레를 측정하여 원주율 구하는 것과 비슷하다. 그랬더니 황금비의 어느 구석과 일치하는 걸 알았던 거 같다. 증명은 못 하겠지만 같다는 것은 먼저 알 수 있었다. 그러면 작도는 쉽다.
정오각형부터는 그리는 원리를 직관적으로 알기 어렵다. 소수(素數)에 해당하는 각의 도형은 역시 그리기 어렵다. 각도도 2배, 3배, 5배 그리는 것은 쉬운데 역시 나누기가 어렵다. 뭐든 2로 나눌 수 있어 정말 다행이다. 아마 정오각형 작도법을 발견한 후에 신기해서 자신들의 상징으로 사용한 거 같다. 7각형 이상의 작도는 현실에선 쓸모가 없다. 6각형까지 작도가 가능하면 24각형을 작도로 그릴 수 있는데 이게 15도 단위의 시계이며 24절기이다.
눈금자 없이 그릴 수 있는 도형은 아래와 같다. 이것을 이용해서 각도계를 만든다면?
| 등분 |
각형 |
각형 |
각형 |
| 1 |
4 |
5 |
6 |
| 2 |
8 |
10 |
12 |
| 4 |
16 |
20 |
24 |
| 8 |
32 |
40 |
48 |
| 등분 |
각도 |
각도 |
각도 |
| 1 |
90 |
72 |
60 |
| 2 |
45 |
36 |
30 |
| 4 |
22.5 |
18 |
15 |
| 8 |
11.25 |
9 |
7.5 |
위에서 소수점 이하 각도는 사용하지 않는다고 하면 다음과 같은 각도 구분이 가능하다.
| 각도 |
차이 |
24각 |
40각 |
| 0 |
0 |
O |
O |
| 9 |
9 |
|
O |
| 15 |
6 |
O |
|
| 18 |
3 |
|
O |
| 27 |
9 |
|
O |
| 30 |
3 |
O |
|
| 36 |
6 |
|
O |
| 45 |
9 |
O |
O |
| 54 |
9 |
|
O |
| 60 |
6 |
O |
|
| 63 |
3 |
|
O |
| 72 |
9 |
|
O |
| 75 |
3 |
O |
|
| 81 |
6 |
|
O |
| 90 |
9 |
O |
O |
| 99 |
9 |
|
O |
| 105 |
6 |
O |
|
| 108 |
3 |
|
O |
| 117 |
9 |
|
O |
| 120 |
3 |
O |
|
| 126 |
6 |
|
O |
| 135 |
9 |
O |
O |
| 144 |
9 |
|
O |
| 150 |
6 |
O |
|
| 153 |
3 |
|
O |
| 162 |
9 |
|
O |
| 165 |
3 |
O |
|
| 171 |
6 |
|
O |
| 180 |
9 |
O |
O |
| 189 |
9 |
|
O |
| 195 |
6 |
O |
|
| 198 |
3 |
|
O |
| 207 |
9 |
|
O |
| 210 |
3 |
O |
|
| 216 |
6 |
|
O |
| 225 |
9 |
O |
O |
| 234 |
9 |
|
O |
| 240 |
6 |
O |
|
| 243 |
3 |
|
O |
| 252 |
9 |
|
O |
| 255 |
3 |
O |
|
| 261 |
6 |
|
O |
| 270 |
9 |
O |
O |
| 279 |
9 |
|
O |
| 285 |
6 |
O |
|
| 288 |
3 |
|
O |
| 297 |
9 |
|
O |
| 300 |
3 |
O |
|
| 306 |
6 |
|
O |
| 315 |
9 |
O |
O |
| 324 |
9 |
|
O |
| 330 |
6 |
O |
|
| 333 |
3 |
|
O |
| 342 |
9 |
|
O |
| 345 |
3 |
O |
|
| 351 |
6 |
|
O |
| 360 |
9 |
O |
O |
보면 3도, 6도, 9도 차이가 나는데, 6도에 대해선 임의의 각 2등분을 적용하면 최소 눈금 3도 각도의 각도계를 그릴 수 있다. 9도 각도도 옆의 3도 각도를 이용해서 쉽게 3등분 할 수 있다. 이러면 360 / 3 = 120각형이 가능하다. 그렇다면 옛날 사람들이 만든 360도 각도계는 어떻게 만든 것이지? 최소 눈금 1도를 어떻게 그렸냐? 0.5도, 0.25도까지 이용하면 가능할 수도 있겠다.
원 이외의 곡선 중에 쓸모 있는 게 있는데 타원과 포물선이다. 포물선은 반사 망원경의 거울 만들 때 필요하다. 원을 찌그러뜨리거나 늘리면 타원이 된다. 타원을 아주 길게 만들면 끝 부분은 포물선과 매우 비슷해진다. 그런데 쌍곡선은 어디에 쓸까?
쌍곡선雙曲線 : 쌍을 이룬 곡선
평면 위의 두 점(초점)에서의 거리의 차가 일정한 점의 궤적(자취)
포물선抛物線 : 포물(포탄)의 궤적
평면 위의 한 점(초점)과 한 직선에서의 거리가 같은 점의 자취(궤적)
타원楕圓 : 길쭉한 원
평면 위의 두 점(초점)에서의 거리의 합이 일정한 점의 자취(궤적)
원뿔곡선/圓뿔曲線 = 원추곡선/圓錐曲線
원뿔의 꼭짓점을 통하지 않는 임의의 평면으로 잘라 낸 면의 곡선
이것을 줄/실과 자로만 그리는 방법이 아래와 같다.
타원 그리는 방법은 원 그리기와 비슷하다. 중심이 2개인 것만 다르다.
원은 1개의 중심에 실 끝을 고정한 후에 다른 실 끝에 연필을 달아 돌리면 되고,
타원은 2개의 중심 점에 실 끝을 고정한 후에 실 중간에 연필을 걸어 돌리면 된다.
원리는 위와 같은 걸 찾아 보면 되는데 이런 게 시험 문제에 나온다고?
지능 테스트 하는 건가? 이런 건 취미 생활로 하면 되지 쓸 데 없는데?
대통령이
- 바보라도 위험하니 파면
- 미쳤으면 더 위험하니 파면
- 사악하면 더욱 위험하니 파면
- 반역자면 더더욱 위험하니 파면
바뀐애는 1개에 해당 되나 윤적혈은 3개나 해당 된다.
윤적혈은 결혼 잘 못 해서 망한 것이다.
이를 볼 때 결혼은 정말 위험하다.
결혼 회피 대상 1호는?
무속인, 연예인, 논다니
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