2024-02-14-수 수정
수학에서 말하는 수의 종류와 컴퓨터에서 표현법이다.
- 자연수 : 0 이상의 양의 정수, 예) 0, 1, 2, 3...
- 정수 : 소수가 없는 정수, 예) –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
- 소수 : 0.XXX로 1보다 작은 수, 예) 0.123, 0.01%
- 실수 : 정수 + 소수, 예) 123.456, 3.141592
- 고정 소수점 표현 : 예) 정수부 3자리 + 소수부 3자리 = 123.456
- 부동 소수점 표현 : 예) 가수부 3자리 x 지수부 3자리 = 0.123456×10¹²³
숫자를 표현할 수 있는 공간(칸)이 6개라고 하자. 여기서 고정 소수점이란 소수점의 위치가 고정 되어 있음을 뜻한다. 소수점 위 3자리, 소수점 아래 3자리처럼 말이다. 부동 소수점이란 소수점 위치가 가변적이란 얘기다. 부동浮動float플로우트는 떠다님을 의미한다. 다른 말로 지수 형태 표현이라고 할 수 있다. 소수점의 위치는 지수指數가 결정하고, 수의 정밀도는 가수가 결정한다. 가수假數란 가짜 수란 의미인데 소수점 이하를 의미한다.
컴퓨터 메모리를 너무 어렵게 생각하지 말자. 우리가 초등학교 때 사용하던 원고지처럼 바둑판 격자가 그려진 공책을 상상하면 된다. 각 칸에는 글자 하나 적을 수 있다. 숫자를 적을 공간에 한계가 있는 것은 당연하다. 컴퓨터 메모리도 그러하다. 한 바이트라고 하는 것을 알파벳 문자가 들어가는 자리라고 생각하라.
예를 들면 분해능 1000의 저울이 있다고 하자. 1g단위로 1kg까지 측정하는 저울이 있고, 1kg단위로 1톤까지 측정하는 저울이 있다. 여기서 저울 눈금에 표시되는 숫자는 가수에 해당한다. 눈금 간격이 정밀도(분해능)를 나타낸다. 그 뒤의 단위(g/kg)는 지수에 해당한다. 이건 규모(크기)를 나타낸다. 이 정도 설명해도 이해 못 하면 국정원 댓글 용역들이다.
그런데 기억 공간이란 것은 한계가 있다. 공간(칸수) 제약이 있는 숫자 표시를 할 때는 2가지 개념이 있다. 측정기나 컴퓨터 속의 수를 너무 어렵게 생각하지 말자. 중앙이 0이고 좌우가 ±30㎝인 자를 상상하자. 이 자의 최소 눈금은 1㎜이다. 그럼 이렇게 정리 할 수 있다.
- 범위 : ±300㎜ → 크기
- 눈금 : ±1㎜ → 정밀도/분해능
범위는 얼마나 큰 수, 작은 수를 표현할 수 있느냐이고, 눈금은 얼마나 섬세하게 나누어 표현할 수 있느냐이다. 이런 숫자 표현을 컴퓨터에선 비트 나열로 어떻게 할까? 그게 궁금하다. 2진수와 10진수를 바꾸는 개념이 필요하다. 몇 개의 숫자는 기억하자.
- 1바이트(08비트) : 256개 정수 표현
- 2바이트(16비트) : 6만5536개 정수 표현
- 4바이트(32비트) : 42억9496만7296개 정수 표현
- 8바이트(64비트) : 184경4674조4073억7095만51616개 정수 표현
Visual Basic Macro에서 사용하는 데이터 형식
컴퓨터에서 하나의 데이터 표현에 사용하는 기억 공간은 현재 8바이트(64비트)까지이다. 1바이트(8비트)에서 시작해서 2배씩 증가하는 것이 전통이다. 주어진 바이트 공간이 같아도 내용을 어떻게 해석하느냐의 차이가 있어 Data Type(자료 종류)이라 부른다.
- 1바이트 : byte(자연수)
- 2바이트 : integer(정수), boolean(논리)
- 4바이트 : long(정수), single(실수)
- 8바이트 : longlong(정수), double(실수), currency(화폐), date(시간)
대부분 컴퓨터 언어에선 전통적인 숫자 표현이다. 정수의 경우는 이해하기 쉽다. 고로 실수를 어떻게 표현하는지 분석해 볼 것이다. single, double, date는 부동 소수이고, currency가 고정 소수이다. 기타 흥미로운 자료형도 있다.
- 14바이트 : decimal(10진수)
- 16바이트 : variant(가변적)
decimal은 10진수를 표현한 것이다. 이건 단독 사용이 안 되고 variant와 함께 사용해서 다른 수를 10진수 형식으로 바꾼다. variant는 여러 형태의 데이터를 다 표현할 수 있도록 넓힌 공간이라 가장 많은 바이트를 차지한다. 추가된 2바이트는 자료 형식에 대한 정보이다. 고로 10진수 표현이 어떠한지 분석해 볼 것이다.
기타 object(객체), longptr(포인터) 등은 메모리 주소(위치)와 데이터 구조를 나타내는 자연수로 사람이 직접 건드릴 일이 없다. 데이터 구조란 여러 종류의 자료형을 묶어서 한 덩어리로 취급할 때 필요한 것이다. 고로 위치/크기/종류를 모두 구분해야 한다. 주소의 바이트 크기도 시스템(CPU + O/S)에 따라 자동으로 바뀌니까 신경 쓸 일 없다. 이와 유사한 자료 형식이 있다.
- string(고정) : 문자열 길이(약 6만까지)
- string(가변) : 10바이트 + 문자열 길이(약 20억까지)
- variant(문자열) : 22바이트 + 문자열 길이(약 20억까지)
길이가 가변적인 자료형의 대표적이고 전통적인 것이 문자열이다. 길이가 고정된 문자열은 보통 단어 목록(사전)을 표현할 때 사용한다. 최대 한계 길이(약 6만까지 가능)를 정해서 사용한다. 단어 길이가 6만(65536자)이면 한글 250자 원고 (10행x25자) 240 페이지 분량, 500자 원고 (25행x20자) 120 페이지 노트 정도 된다. 여하튼 최대 단어 길이를 정하고 미리 공간을 확보하는 것이다. 이게 말이 단어지 이 정도면 문서 하나 정도가 들어간다.
길이가 가변적인 것은 보통 문장(문단)을 표현할 때 사용한다. 메모리는 절약 되지만 구현이 복잡하다. 문자열은 바이트의 배열이 된다. 고로 문자열 변수는 이 배열의 주소(위치)를 가리키게 되면서 문자열 길이도 표현해야 한다. 고로 4바이트(약 20억)는 길이, 나머지 4바이트는 주소(위치)를 표현하는 것 같은데 남은 2바이트는 뭔지 모르겠으나 컴퓨터가 알아서 할 일이다.
길이가 가변적인 것은 보통 문장(문단)을 표현할 때 사용한다. 메모리는 절약 되지만 구현이 복잡하다. 문자열은 바이트의 배열이 된다. 고로 문자열 변수는 이 배열의 주소(위치)를 가리키게 되면서 문자열 길이도 표현해야 한다. 고로 4바이트(약 20억)는 길이, 나머지 4바이트는 주소(위치)를 표현하는 것 같은데 남은 2바이트는 뭔지 모르겠으나 컴퓨터가 알아서 할 일이다.
데이터를 비트로 표현하는 방법을 분석하기 위해 사용할 프로그램이다.
2진 부동 소수점 형식 분석
10진수로 된 실수를 2진수로 바꾸는 것은 정확하지 않고, 계산도 복잡하다. 고로 가수, 지수, 부호 비트를 구분해서 분석하려면 대가리를 좀 굴려야 한다. 2진수는 m×2ⁿ 형태이고 m(가수), n(지수)는 부호가 있다. n과 m의 변화를 보기 위해서 다음과 같은 수를 저장해 본 후에 분석한다.
m
|
n
|
10진양수
|
10진음수
|
1
|
0
|
1
|
-1
|
1
|
1
|
2
|
-2
|
1
|
2
|
4
|
-4
|
1
|
3
|
8
|
-8
|
1
|
4
|
16
|
-16
|
1
|
5
|
32
|
-32
|
1
|
6
|
64
|
-64
|
1
|
7
|
128
|
-128
|
1
|
8
|
256
|
-256
|
1
|
9
|
512
|
-512
|
1
|
-1
|
0.5
|
-0.5
|
1
|
-2
|
0.25
|
-0.25
|
1
|
-3
|
0.125
|
-0.125
|
1
|
-4
|
0.0625
|
-0.0625
|
1
|
-5
|
0.03125
|
-0.03125
|
1
|
-6
|
0.015625
|
-0.015625
|
1
|
-7
|
0.0078125
|
-0.0078125
|
1
|
-8
|
0.00390625
|
-0.00390625
|
1
|
-9
|
0.001953125
|
-0.001953125
|
0.1
|
0
|
0.5
|
-0.5
|
0.11
|
0
|
0.75
|
-0.75
|
0.111
|
0
|
0.875
|
-0.875
|
0.1111
|
0
|
0.9375
|
-0.9375
|
0.11111
|
0
|
0.96875
|
-0.96875
|
0.111111
|
0
|
0.984375
|
-0.984375
|
0.1111111
|
0
|
0.9921875
|
-0.9921875
|
0.11111111
|
0
|
0.99609375
|
-0.99609375
|
11
|
0
|
3 | -3 |
111
|
0
|
7 | -7 |
1111
|
0
|
15 | -15 |
11111
|
0
|
31 | -31 |
111111
|
0
|
63 | -63 |
1111111
|
0
|
127 | -127 |
11111111
|
0
|
255 | -255 |
간단한 비교 분석을 통해 다음과 같은 결론에 도달한다. 첫 비트는 부호, 그 다음은 지수, 그 다음은 1이 생략된 가수이다. 바이트의 배치 순서는 CPU에 따라 다른데 PC에서 사용하는 인텔 CPU는 하위 바이트를 먼저 기록한다. 그래서 거꾸로 배치해야 사람이 읽기 편하다. 지수는 비트 1자리만 늘어도 2배로 커지는 효과가 있다. 가수는 비트가 2배로 늘어야 2배 정밀도가 된다.
- 32비트 실수 최소 눈금 : ±1.401298E-45 (2진수이기 때문에 이렇다)
- 64비트 실수 최소 눈금 : ±4.94065645841247E-324 (2진수이기 때문에 이렇다)
최소 값일 때는 비트 모양이 지수 = 0, 가수 = 000...0001 꼴이다.
날짜와 시간 표현은 64비트 부동 소수점 형식을 빌려 사용하고 있다. 초→분→시→일→월→년으로 1초 시간에 해당하는 소수를 계속 누적하는 형태이다. 1일은 정수 1에 해당한다. 고로 1일을 60초 * 60분 * 24시 = 86400초로 나누면 단위 시간 1초에 해당하는 소수를 구할 수 있다. 365일은 평년, 366일은 윤년이다.
- 최소 눈금 : 1초 = 0.0000115740740740740... (740무한 반복)
- 최대 범위 : 1900년 1월 0일 자정(0시0분0초) ~ 약 9999년(1만년)까지
10진 고정 소수점 형식 분석
돈 계산할 때 사용하는 Currency 고정 소수점 형식은 정수와 다를 것 없다. 본질적으로 정수이다. 정수처럼 첫 비트가 부호이다. 양수=0, 음수=1이며 음수는 정수처럼 보수를 취한다. 10진수로 소수점 아래 4자리까지 표현하고 싶다면 10000에 해당하는 수를 1로 보는 방식이다. 다시 말하면 1만 배 곱하여 저장, 계산한 후에 10진수로 결과 표시할 때만 소수 4자리 앞에 살짝 소수점을 찍어 준다. 고로 비트 패턴으로는 정수와 소수의 구분이 없고 그냥 1만배가 된 정수이다.
- 최소눈금 : ±0.0001 (10진수라서 최소 눈금을 1로 표현 가능)
- 최대범위 : 약 ±2의 63승 ÷ 10000
10진 부동 소수점 형식 분석
Decicmal의 형식을 읽을 수는 없었으나 10진법이라는 것도 Currency처럼 최소 눈금을 정하고 정수처럼 취급하는 방법으로 보인다. 왜냐하면 최소 눈금은 10진수로 표현했을 때만 1로 끝나기 때문이다. 또한 최대 범위를 보면 약 12바이트가 가수로 사용된다. 고로 남은 2바이트가 부호와 지수가 될 것이다. 헌데 지수가 있다는 말은 부동 소수란 말이다.
- 최소 눈금 : ±0.0000000000000000000000000001, 10진수 29자리 표시
- 최대 범위 : 약 ±2의 96승(12바이트), 10진수 29자리 표시
이 방법은 가수는 일반 정수처럼 취급하고, 지수는 10진수로 보는 방식이다. 계산은 내부적으로 어떤 방식으로 알아서 할 것이고, 화면에 표시할 때만 소수점 위치를 살짝 결정해 찍어주는 방법이다. 이렇게 하는 이유는 계산의 정확도를 위함이다. 10진 소수를 2진 소수로 정확히 바꿀 수는 없다. 허나 정수에선 가능하다. 고로 2진수 1을 10진수 최소 눈금으로 잡은 것이다.
이 방법으로도 곱하기 나누기에선 문제가 없다. 가수는 서로 곱하고 나누고, 지수는 서로 더하고 빼면 된다. 문제는 더하기 빼기이다. 지수가 큰 쪽으로 자리수를 맞추어야 하는데 가수는 2진 정수인데 지수는 10진수를 표시하니 복잡하다. 뭐 알아서 잘 했겠지.
이제 정수로 실수를 표현하는 원리를 알았으니 직접 구현할 수도 있을 것이다. 대충 이렇게 마무리한다.
독재정부가 하는 짓은 동서고금 똑같다.
전쟁터에서 하는 짓은 동서고금 똑같다.
한 나라의 역사만 제대로 알아도 나머지 나라 역사를 안다. 외국사 = 한국사
그러니 독재자 이승만, 박정희, 김일성, 한국 전쟁에 대한 환상을 깨자.
우리가 학교에서 배운 한국사는 1920년부터 일본이 가르친 일제 식민 사학이다.
근현대사 또한 친일파 세력 때문에 제대로 교육 받았다고 할 수 없다.
